如图，已知△ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆交AC于点F，点E为 CF 的中点，连接BE交AC于点M，AD为△ABC

（1）证明：连接EC，
∵AD⊥BE于H，∠1=∠2，
∴∠3=∠4（1分）
∵∠4=∠5，
∴∠4=∠5=∠3，（2分）
又∵E为

CF 的中点，
∴

EF =

CE ，
∴∠6=∠7，（3分），
∵BC是直径，
∴∠E=90°，
∴∠5+∠6=90°，
又∵∠AHM=∠E=90°，
∴AD ∥ CE，
∴∠2=∠6=∠1，
∴∠3+∠7=90°，
又∵BC是直径，
∴AB是半圆O的切线；（4分）

（2）∵AB=3，BC=4，
由（1）知，∠ABC=90°，
∴AC=
AB 2 + BC 2 =
3 2 + 4 2 =5（5分）
在△ABM中，AD⊥BM于H，AD平分∠BAC，
∴AM=AB=3，
∴CM=2（6分）
∵∠6=∠7，∠E为公共角，
∴△CME ∽ △BCE，得
EC
EB =
MC
CB =
2
4 =
1
2 ，（7分）
∴EB=2EC，在Rt△BCE中，BE ² +CE ² =BC ² ，
即BE ² +（
BE
2 ） ² =4 ² ，
解得BE=
8
5
5 ．（8分）

1年前