（2010•资阳三模）已知数列{bn}的前n项和为Sn，b1=1且点（n，Sn+n+2）在函数f（x）=log2x-1的

（2010•资阳三模）已知数列{bn}的前n项和为Sn，b1=1且点（n，Sn+n+2）在函数f（x）=log2x-1的反函数y=f-1（x）的图象上．若数列{an}满足a1=1，an＝bn(
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn−1
) (n≥2，n∈N*)．
（Ⅰ）求bn；
（Ⅱ）求证：
an+1
an+1
＝
bn
bn+1
(n≥2，n∈N*)；
（Ⅲ）求证：(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)(1+
1
a3
)•…•(1+
1
an
)＜
10
3
．
msmxb 1年前 已收到1个回答 举报
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零乱心情 幼苗

共回答了19个问题采纳率：94.7% 举报

解题思路：（Ⅰ）由y=log2x-1，可得x=2y+1，故反函数为f-1（x）=2x+1，所以有Sn=2n+1-n-2，b1=1，再由前n项和与通项的关系求得bn=2n-1．
（Ⅱ）根据an＝bn(
1
b1
+
1
b2
++
1
bn−1
)(n≥2，n∈N*)，可得
an
bn
＝
1
b1
+
1
b2
++
1
bn−1
，从而有
an+1
bn+1
＝
1
b1
+
1
b2
++
1
bn−1
+
1
bn
，所以
an+1
bn+1
−
an
bn
＝
1
bn
，从而有
an+1
bn+1
＝
an
bn
+
1
bn
＝
an+1
bn
，变形可得结论．
（Ⅲ）注意讨论，当n=1时成立，当n≥2时，由（Ⅱ）知(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)(1+
1
a3
)••(1+
1
an
)
=
a1+1
a1
•
a2+1
a2
•
a3+1
a3
••
an+1
an
=
a1+1
a1a2
•
a2+1
a3
•
a3+1
a4
••
an+1
an+1
•an+1
=[2/3•
b2
b3
•
b3
b4
••
bn
bn+1
•an+1
=
2
3
•
b2
bn+1
•an+1＝2•
an+1
bn+1]=2(
1
b1
+
1
b2
++
1
bn−1
+
1
bn
)=2（1+
1
3
++
1
2n−1
）再放缩求解．

（Ⅰ）令y=log2x-1，则x=2y+1，故反函数为f-1（x）=2x+1，
∴Sn+n+2=2n+1，则Sn=2n+1-n-2，b1=1，（2分）
n≥2时，Sn-1=2n-n-1，∴Sn-Sn-1=2n-1，即bn=2n-1（n≥2），b1=1满足该式，故bn=2n-1．（4分）
（Ⅱ）证明：∵an＝bn(
1
b1+
1
b2++
1
bn−1)(n≥2，n∈N*)，
∴
an
bn＝
1
b1+
1
b2++
1
bn−1，
an+1
bn+1＝
1
b1+
1
b2++
1
bn−1+
1
bn，
∴
an+1
bn+1−
an
bn＝
1
bn，从而
an+1
bn+1＝
an
bn+
1
bn＝
an+1
bn，
∴
an+1
an+1＝
bn

点评：
本题考点： 数列与函数的综合；数列与不等式的综合．

考点点评： 本题主要考查数列与函数，不等式的综合运用，主要涉及了求反函数，数列前n项和与通项的关系以及放缩法，裂项法等．

1年前

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