如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O经过BC的中点D，过D作DE⊥AC于E．

解题思路：（1）利用直径所对的圆周角是直角和等腰三角形的三线合一可以得到AB=AC；
（2）连接OD，利用平行线的判定定理可以得到∠ODE=∠DEC=90°，从而判断DE是圆的切线．

证明：（1）∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∴AD⊥BC，又D是BC的中点
∴AB=AC（4分）
（2）连OD，
∵O、D分别是AB、BC的中点
∴OD∥AC
∴∠ODE=∠DEC=90°
∴DE是⊙O的切线（4分）
（3）∵AB=10，∠ABC=30°，
∴AD=5
∵∠ABC=30°
∴∠ODB=30°，∠ADO=60°，∠ADE=30°
DE=5cos30°=
5
3
2
∴DE的长为
5
3
2（2分）

点评：
本题考点： 圆周角定理；等腰三角形的判定；含30度角的直角三角形；切线的性质．

考点点评： 本题目考查了等腰三角形的判定及性质、圆周角定理及切线的性质，涉及的知识点比较多且碎，解题时候应该注意．