如图，直线y=x+b（b≠0）交坐标轴于A、B两点，交双曲线y= 2 x 于点D，过D作两坐标轴的垂线DC、DE，连接O
如图，直线y=x+b（b≠0）交坐标轴于A、B两点，交双曲线y=
（1）求证：AD平分∠CDE； （2）对任意的实数b（b≠0），求证：AD•BD为定值； （3）是否存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．  |
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（1）证明：由y=x+b得A（-b，0），B（0，b）．
∴∠DAC=∠OAB=45°
又∵DC⊥x轴，DE⊥y轴
∴∠ACD=∠CDE=90°
∴∠ADC=45°即AD平分∠CDE．
（2）证明：∵∠ACD=90°，∠ADC=45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
同理可得，△BDE是等腰直角三角形，
∴AD=
2 CD，BD=
2 DE．
∴AD•BD=2CD•DE=2×2=4为定值．
（3）存在直线AB，使得OBCD为平行四边形．
若OBCD为平行四边形，则AO=AC，OB=CD．
由（1）知AO=BO，AC=CD，
设OB=a（a＞0），
∴B（0，-a），D（2a，a），
∵D在y=
2
x 上，
∴2a•a=2，
∴a 1 =-1（舍去），a 2 =1，
∴B（0，-1）．
又∵B在y=x+b上，
∴b=-1．
即存在直线：y=x-1，使得四边形OBCD为平行四边形．
∴∠DAC=∠OAB=45°
又∵DC⊥x轴，DE⊥y轴
∴∠ACD=∠CDE=90°
∴∠ADC=45°即AD平分∠CDE．
（2）证明：∵∠ACD=90°，∠ADC=45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
同理可得，△BDE是等腰直角三角形，
∴AD=
2 CD，BD=
2 DE．
∴AD•BD=2CD•DE=2×2=4为定值．
（3）存在直线AB，使得OBCD为平行四边形．
若OBCD为平行四边形，则AO=AC，OB=CD．
由（1）知AO=BO，AC=CD，
设OB=a（a＞0），
∴B（0，-a），D（2a，a），
∵D在y=
2
x 上，
∴2a•a=2，
∴a 1 =-1（舍去），a 2 =1，
∴B（0，-1）．
又∵B在y=x+b上，
∴b=-1．
即存在直线：y=x-1，使得四边形OBCD为平行四边形．
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