椭圆与直线问题!已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0),A,B是椭圆上两点,线段AB的中垂线与x轴交于
椭圆与直线问题!
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0),A,B是椭圆上两点,线段AB的中垂线与x轴交于P（x0,0),求证：-（a^2 - b^2)/a < x0 < (a^2 - b^2)/a.
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0),A,B是椭圆上两点,线段AB的中垂线与x轴交于P（x0,0),求证：-（a^2 - b^2)/a < x0 < (a^2 - b^2)/a.
赞 过客不走 春芽
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证明 ：设直线AB的 方程为y=kx+m,A点(x1,y1),B点(x2,y2)设中点为M(x′,y′)
则联立方程组得：（b²+a²k²）x²+2a²kmx+a²m²+a²m²-a²b²=0
则x′=（x1+ x2）/2=-a²km/（b²+a²k²） y′=（y1+ y2）/2=-a²k²m/（b²+a²k²）+ m
再设MP的直线方程为y=-1/kx+m′
因为直线与X轴交于P（x0,0）带入方程得0=-1/kx0+m′
即m′=1/kx0
则MP的直线方程为y=-1/kx+1/kx0
带入M(x′,y′)得y′=-1/k x′+1/kx0
则-a²k²m/（b²+a²k²）+ m=-1/k [a²km/（b²+a²k²）]+1/kx0
即得km= x0（b²+a²k²）/（a²-b²）
带入x′得：x′=- a²x0/（a²-b²）因为-2 a＜ x1+ x2＜2 a,所以-a＜x′＜a
即-a＜- a²x0/（a²-b²）＜a
即-（a²-b²）/ a＜x0＜（a²-b²）/ a
则联立方程组得：（b²+a²k²）x²+2a²kmx+a²m²+a²m²-a²b²=0
则x′=（x1+ x2）/2=-a²km/（b²+a²k²） y′=（y1+ y2）/2=-a²k²m/（b²+a²k²）+ m
再设MP的直线方程为y=-1/kx+m′
因为直线与X轴交于P（x0,0）带入方程得0=-1/kx0+m′
即m′=1/kx0
则MP的直线方程为y=-1/kx+1/kx0
带入M(x′,y′)得y′=-1/k x′+1/kx0
则-a²k²m/（b²+a²k²）+ m=-1/k [a²km/（b²+a²k²）]+1/kx0
即得km= x0（b²+a²k²）/（a²-b²）
带入x′得：x′=- a²x0/（a²-b²）因为-2 a＜ x1+ x2＜2 a,所以-a＜x′＜a
即-a＜- a²x0/（a²-b²）＜a
即-（a²-b²）/ a＜x0＜（a²-b²）/ a
1年前
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