如图,AB是圆O的直径,BC切圆O于B,AC交圆O于P,D为BC边的中点,连接DP.

①证明：
连接OP,OD,BP
∵AB是⊙O的直径
∴∠APB=90°=∠BPC
∵D是BC的中点
∴PD=BD（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
又∵OP=OB=半径
OD=OD
∴△OPD≌△OBD（SSS）
∴∠OPB=∠OBD
∵BC是⊙O的切线
∴∠OBD=90°
∴∠OPD=90°
∴DP是⊙O的切线
②cos∠A=AP/AB=3/5
∵⊙O的半径=5
∴AB=10,AP=6
根据勾股定理BP=8
则tan∠A=BP/AP=8/6=4/3
∵tan∠A=BC/AB
∴BC=ABtan∠A=40/3
则DP=1/2BC=20/3