一道数学难题 要简单的回答 关于x的函数f(x)=(-1/3)x^3+bx^2+cx+bc,其导函数是f'(x).令g(

一道数学难题 要简单的回答
关于x的函数f(x)=(-1/3)x^3+bx^2+cx+bc,其导函数是f'(x).令g(x)=|f'(x)|,记g(x)在区间[-1,1]上的最大值为M
1)如果函数f(x)在x=1处有极值-4/3,试确定b、c的值;
2)若|b|>1,证明对任意的c,都有M>2;
3)若M≥K对任意的b、c恒成立,试求K的最大值;
明天要!
skyblack2006 1年前 已收到3个回答 举报

ronghuadeai 幼苗

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(1)f(x)=(-1/3)x^3+bx^2+cx+bc
求导得f'(x)=-x^2+2bx+c,则
f(1)=-1/3+b+c+bc=-4/3①,
f'(1)=-1+2b+c=0②,
联立①②解得 b=1,c=-1或者b=-1,c=3
(2)证明:
由g(x)=|f'(x)|=|-x^2+2bx+c|,而f'(x)=-x^2+2bx+c的对称轴x=b,由于
|b|>1,则对称轴在区间[-1,1]之外,所以
当b>1时,f'(x)在区间[-1,1]上为增函数,f'(x)max=f'(1)=-1+2b+c,f'(x)min=f'(-1)=-1-2b+c
当b1时,f'(x)在区间[-1,1]上为减函数,f'(x)max=f'(-1)=-1-2b+c,f'(x)min=f'(1)=-1+2b+c
所以|b|>1时,g(x)max=|f'(x)|max=|-1+2b+c|或者|-1-2b+c|=M
因为上述两种情形的最大值有可能同时取到的
则有2M>=|-1+2b+c|+|-1-2b+c|>=|(-1+2b+c)-(-1-2b+c)|=4|b|>4*1=4
所以M>2,从而获证.
(3)若M≥K对任意的b、c恒成立,则
由g(x)=|f'(x)|=|-x^2+2bx+c|,而f'(x)=-x^2+2bx+c的对称轴x=b,
则f'(-b)=b^2+c
g(x)max=|f'(x)|max=M,由函数f'(x)的连续性,可知M一定是|f'(1)|、|f'(-1)|、|f'(-b)|三者中的一个,因此
4M>=|f'(1)|+|f'(-1)|+2*|f'(-b)|
=|-1+2b+c|+|-1-2b+c|+2|b^2+c|
=(|-1+2b+c|+|b^2+c|)+(|-1-2b+c|+|b^2+c|)
>=|(-1+2b+c)-(b^2+c)|+|(-1-2b+c)-(b^2+c)|
=|(b-1)^2|+|(b+1)^2|
=(b-1)^2+(b+1)^2
=2b^2+2
>=2
所以M>=1/2
而M≥K
所以Kmax=1/2

1年前

2

huahuazizi 幼苗

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1) 有极值,即导数为零,即当x=1时,f'(x)=-x^2+2bx+c=0,即 :
-1+2b+c=0.又由f(x)在x=1处有极值-4/3可得:(-1/3)+b+c+bc=-4/3.
联立方程可解得:b=1,c=-1或b=-1,c=3.再考虑f'(x)=-x^2+2bx+c是口朝下的抛物线,当它取解“b=1,c=-1”时,它的对称轴是x=1,与x轴只在此有一个交点,这就...

1年前

2

ya3qian 幼苗

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b=-2/3
c=1

1年前

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