已知双曲线x2a2−y2b2=1（a，b＞0）的离心率为2，右焦点到一条渐近线的距离为3．

（I）取双曲线的渐近线y=[b/ax，∵右焦点（c，0）到一条渐近线的距离为
3]．
∴
bc

a2+b2=
3，化为b=
3．
又∵e＝
c
a＝2，c²=a²+3，解得a²=1，c=2．
∴双曲线的方程为x2−
y2
3＝1．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

x−my−2＝0
3x2−y2＝3，化为（3m²-1）y²+12my+9=0，
y₁+y₂=-[12m
3m2−1，y₁y₂=
9
3m2−1．
∵双曲线的右准线为：x＝
1/2]．
∴C(
1
2，y2)．
当m=0时，可得AB的方程：x=2．
可得A（2，-3），B（2，3），C(
1
2，3)，
直线AC的方程为y+3＝
6
−
3
2(x−2)，化为4x+y-5=0，
令y=0，可得x=[5/4]．
猜想直线AC过定点M(
5
4，0)．
直线AP的方程为：y＝
y1
x1−
5
4(x−
5
4)，
令x=[1/2]，化为y=
3y1
5−4x1=
3y1
−3−4my1，
∵3y₁+（3+4my₁）y₂=3（y₁+y₂）+4my₁y₂=[−36m
3m2−1+
36m
3m2−1=0，
∴y=
3y1
−3−4my1=y₂，
因此直线AM与准线x=
1/2]相交于点(
1
2，y2)，即点C．
∴三点A，M，C共线．
综上可得：直线AC过定点M(
5
4，0)．

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；双曲线的标准方程．

考点点评： 本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线方程与双曲线相交转化为方程联立可得根与系数的关系、点到直线的距离公式、直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

1年前

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