如图所示,已知△ABC中,∠ACB=90°,D是BC延长线上一点,E是AB上一点,且在BD的垂直平分线EG上,DE交AC

求证E在AF的垂直平分线等价于求证EG垂直平分AF即EG平分AF
证明三角形AEG全等于三角形FEG即可.（AAS）
（角A=角EFG,直角相等,共边EG相等）
要证明三角形AEG全等于三角形FEG证明角A=角EFG即可.
证明：
由角ACB为90度即AC垂直BD与BD的垂直平分线BH垂直BD（共线上的垂线平行）得
角A=角BEH,角EFG=角DEH
由BD的垂直平分线BH平分角BDE得角BEH=角DEH =角EFG
又因为角A=角BEH（已证）,所以角A=角EFG
再证明三角形AEG全等于三角形FEG即可得AH=FH即EG平分AF
又因为EG垂直AB
所以EG垂直平分AF即E在AF的垂直平分线

证明三角形AEG全等于三角形FEG即可。（AAS）
（角A=角EFG，直角相等，共边EG相等）
要证明三角形AEG全等于三角形FEG证明角A=角EFG即可。
证明：
由角ACB为90度即AC垂直BD与BD的垂直平分线BH垂直BD（共线上的垂线平行）得
角A=角BEH，角EFG=角DEH
由BD的垂直平分线BH平分角BDE得角BEH=角DE...