已知函数f（x）=x 3 -ax-1．
| 已知函数f（x）=x 3 -ax-1． （1）若f（x）在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围； （2）是否存在实数a，使f（x）在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由； （3）证明f（x）=x 3 -ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方． |
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（1）f′（x）=3x 2 -a，3x 2 -a＞0在R上恒成立，∴a＜0．
又a=0时，f（x）=x 3 -1在R上单调递增，∴a≤0．
（2）3x 2 -a＜0在（-1，1）上恒成立，即a＞3x 2 在（-1，1）上恒成立，即a＞3．
又a=3，f（x）=x 3 -3x-1，f′（x）=3（x 2 -1）在（-1，1）上，
f′（x）＜0恒成立，即f（x）在（-1，1）上单调递减，∴a≥3．
（3）当x=-1时，f（-1）=a-2＜a，因此f（x）的图象不可能总在直线y=a的上方．
又a=0时，f（x）=x 3 -1在R上单调递增，∴a≤0．
（2）3x 2 -a＜0在（-1，1）上恒成立，即a＞3x 2 在（-1，1）上恒成立，即a＞3．
又a=3，f（x）=x 3 -3x-1，f′（x）=3（x 2 -1）在（-1，1）上，
f′（x）＜0恒成立，即f（x）在（-1，1）上单调递减，∴a≥3．
（3）当x=-1时，f（-1）=a-2＜a，因此f（x）的图象不可能总在直线y=a的上方．
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