全等三角形的动点问题在△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点
全等三角形的动点问题
在△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D,E证明DE=BD+CE
（2）将（1）中的条件改为：在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角,求DE=BD+CE是否成立.
（3）如图（3）D、E是D,A,E三点所在直线m上的两动点,（D、A、E三点不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD,CE求∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状.
在△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D,E证明DE=BD+CE
（2）将（1）中的条件改为：在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角,求DE=BD+CE是否成立.
（3）如图（3）D、E是D,A,E三点所在直线m上的两动点,（D、A、E三点不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD,CE求∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状.
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证明：（1）∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,
∴∠BDA=∠CEA=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°,
∵∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠CAE=∠ABD,
∵在△ADB和△CEA中
∠ABD＝∠CAE∠BDA＝∠AECAB＝AC,
∴△ADB≌△CEA（AAS）,
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（2）成立．
∵∠BDA=∠BAC=α,
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α,
∴∠CAE=∠ABD,
∵在△ADB和△CEA中
∠ABD＝∠CAE∠BDA＝∠AECAB＝AC,
∴△ADB≌△CEA（AAS）,
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（3）△DEF是等边三角形．
由（2）知,△ADB≌△CEA,
BD=AE,∠DBA=∠CAE,
∵△ABF和△ACF均为等边三角形,
∴∠ABF=∠CAF=60°,
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,
∴∠DBF=∠FAE,
∵BF=AF
在△DBF和△EAF中
FB＝FA∠FBD＝∠FAEBD＝AE,
∴△DBF≌△EAF（SAS）,
∴DF=EF,∠BFD=∠AFE,
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°,
∴△DEF为等边三角形．
∴∠BDA=∠CEA=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°,
∵∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠CAE=∠ABD,
∵在△ADB和△CEA中
∠ABD＝∠CAE∠BDA＝∠AECAB＝AC,
∴△ADB≌△CEA（AAS）,
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（2）成立．∵∠BDA=∠BAC=α,
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α,
∴∠CAE=∠ABD,
∵在△ADB和△CEA中
∠ABD＝∠CAE∠BDA＝∠AECAB＝AC,
∴△ADB≌△CEA（AAS）,
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（3）△DEF是等边三角形．
由（2）知,△ADB≌△CEA,
BD=AE,∠DBA=∠CAE,
∵△ABF和△ACF均为等边三角形,
∴∠ABF=∠CAF=60°,
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,
∴∠DBF=∠FAE,
∵BF=AF
在△DBF和△EAF中
FB＝FA∠FBD＝∠FAEBD＝AE,
∴△DBF≌△EAF（SAS）,
∴DF=EF,∠BFD=∠AFE,
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°,
∴△DEF为等边三角形．
1年前
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