已知矩形ABCD中,AB=√2,BC=1,现沿对角线BD折成二面角C-BD-A.使AC=1

（I）∵DA=AC=1,DC=
2
,
∴AC2+AD2=CD2,∴DA⊥AC．（3分）
又∵DA⊥AB,∴AB∩AC=A∴DA⊥平面ABC．（6分）
（II）方法一：取AB中点M,连CM,
过M作MN⊥BD交BD于N,
连CN．∵CA=CB=1,∴CM⊥AB,
∵DA⊂平面ABD,DA⊥平面ABC,
∴平面ABC⊥平面ABD．（8分）
∴CM⊥平面ABD,∴CM⊥BD．
又∵MN⊥BD,MN∩CM=M
∴BD⊥平面CMN,
∴∠CNM为二面角C-BD-A的平面角．（10分）
∴MN=
2
2
3
•1=
6
6
,CM=
2
2
,
tan∠CNM=
CM
MN
=
3
,∴∠CNM=60°,
故二面角C-BD-A平面角的度数为60°．（12分）
方法二：取AB中点M,连CM．
∵AC=AB=1,∴CM⊥AB．
又∵平面ABC⊥平面ABD,∴CM⊥平面ABD．
取BD中点H,∴MH∥AD．
∵AD⊥AB,∴MH⊥AB．
分别以AB,MH,MC为x,y,z轴建立空间直角坐标系．（6分）
得B(
2
2
,0,0),H(0,
1
2
,0),C(0,0,
2
2
),
∴
BH
=(-
2
2
,
1
2
,0),
BC
=(-
2
2
,0,
2
2
)．（8分）
设平面BCD的法向量为
n
=(x,y,z),
∴
BH
•
n
=0
BC
•
n
=0
⇒
-
2
2
x+
1
2
y=0
-
2
2
x+
2
2
z=0
⇒
n
=(1,
2
,1)．（10分）
又∵平面ABD的法向量为
m
=(0,0,1),
∴cos＜
n
,
m
＞=
m
•
n
|
m
|•|
n
|
=
1
2
显然二面角C-BD-A为锐角,所以它的大小为60°．（12分）
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