已知函数y=（acos2x-3）sinx的最小值为-3，则实数a的取值范围是______．

解题思路：令t=sinx，t∈[-1，1]，则函数令t=sinx，t∈[-1，1]可化为y=-at³+（a-3）t，若函数y=（acos²x-3）sinx的最小值为-3，则-at³+（a-3）t≥-3，at²+at+t+3≥0，分类讨论a的取值上，可得实数a的取值范围．

∵函数y=（acos²x-3）sinx=[a（1-sin²x）-3]sinx=-asin³x+（a-3）sinx，
令t=sinx，t∈[-1，1]，
则y=-at³+（a-3）t，
若函数y=（acos²x-3）sinx的最小值为-3，
则-at³+（a-3）t≥-3，
即-at³+（a-3）t+3=-（t-1）（at²+at+t+3）≥0，
∵t-1≤0，
∴at²+at+t+3≥0，
①若a＞0，则u=at²+at+3图象开囗向上，
满足at²+at+3≥0，函数图象与t轴最多只有一个交点，那么判断式必须小于等于0．
即：a²-12a≤0，
a（a-12）≤0，
因a＞0，所以a-12≤0，
即0＜a≤12；
因t=sinx的值域是[-1，1]，若t在区间[-1，1]时函数at²+at+3≥0，则此种情形符合题目要求．
因此只要考虑区间两端点的情况即可．
t=-1时，
at²+at+3，
=a-a+3，
=3；
说明a取任意实数，在[-1，1]区间左端点处，函数 at²+at+3≥0 成立．
t=1时，
at²+at+3，
=a+a+3，
=2a+3≥0，
则a≥-[3/2]，
即a≥-[3/2]时，在[-1，1]区间右端点处，函数 at²+at+3≥0 成立．
综合起来，说明-[3/2]≤a＜0时，能满足题意．
③a=0时，原题可直接成立．
综合以上三种情况，可知a∈[-[3/2]，12]，
故答案为：[-[3/2]，12]

点评：
本题考点： 三角函数的最值．

考点点评： 本题考查的知识点是三角函数的最值，二次函数的图象和性质，本题运算量大，综合性强，转化困难，属于难题．