有2n+1个实数,它们其中任意2n个数都可以分成两组使两组数的和相等； 证明：这2n+1个数全都相等

你题弄错了,原题要求这几个数都是整数而且分成两组时两组都是n个数.我不知道把结论推广到实数时是否还成立,楼主可以自主尝试拓展一下,这里我给出原题的证明
证明：为方便起见,如果有2n+1个整数,它们其中任意2n个数都可以分成两组,使每组n个数,且两组数的和相等,则称这2n+1个整数具有性质p.为证原题,先证几个关于性质p的引理.
引理1：若2n+1个整数满足性质p,那么这2n+1个数同奇偶.
引理1的证明：设这2n+1个数为a1,a2,a3,...,a(2n+1),那么由已知其中任意2n个数的和都为偶数,所以a1+a3+...+a(2n+1)为偶数,a2+a3+...+a(2n+1)为偶数,所以a2-a1为偶数,所以a1,a2同奇偶,同理,a2与a3,a3与a4,...,a(2n)与a(2n+1)同奇偶,所以这2n+1个数同奇偶
引理2：若整数a1,a2,...,a(2n+1)满足性质p,那么a1-k,a2-k,...,a(2n+1)-k也满足性质p(k为整数),且若m是a1,a2,...,a(2n+1)的公因数,那么a1/m,a2/m,...,a(2n+1)/m也满足性质p
引理2的证明思路比较简单,但叙述起来比较麻烦,这里就略去了,楼主既然敢作清华的题目,自非泛泛之辈,证明这个引理应该没问题.
回到原题
设这2n+1个数为a1,a2,a3,...,a(2n+1),由于它们满足p,由引理2,0,a2-a1,a3-a1,...,a(2n+1)-a1也满足性质p
由引理1,a2-a1,a3-a1,...,a(2n+1)-a1为偶数,故再由引理2,0,(a2-a1)/2,(a3-a1)/2,...,(a(2n+1)-a1)/2也满足性质p,于是(a2-a1)/2,(a3-a1)/2,...,(a(2n+1)-a1)/2又都是偶数...
如此一直下去,若a2-a1,a3-a1,...,a(2n+1)-a1有一个不为0,一直除以2,总会使那个数为奇数,这就与引理1矛盾了!所以a2-a1,a3-a1,...,a(2n+1)-a1全为0
于是a1=a2=...=a(2n+1)
1楼的证法是错误的,a1与a(2n+1)互换后,分法也可能跟着变,比如先前的分法可能是a1+a2+...+an=a(n+1)+a(n+2)+...+a(2n),将a1换成a(2n+1)后分法就可能变了,比如变成a(2n+1)+a(2n)+a3+a4+...+an=a(n+1)+a(n+2)+...+a(2n-1)+a2等等
正如楼主所说,这不是个简单题目!

我感觉一楼和三楼的高手说的都对，但是三楼的证明是一个很完整的体系。一楼的方法比较巧妙，我觉得都是对的，这让提问者也不好给分了，呵呵，怎么办呢？

假设这些数是a1,a2,……，a(2n+1)
假设a1到a2n的分成AB2组
假设a1在A组
A=B
如果把a1和a(2n+1)互换
则仍然A=B
所以a1=a(2n+1)
同理，把a2,a3,……,a2n和a(2n+1)互换
则也有a2=a(2n+1),……，a2n=a(2n+1)
所以a1=a2=……=a(2n+1)

如果有至少一个不相等则总有一次分组会两边不相等