已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去他到y轴距离的差都是1,
已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去他到y轴距离的差都是1,
是否存在正数m,对于过点M（m,0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有向量FA×向量FB=0?
是否存在正数m,对于过点M（m,0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有向量FA×向量FB=0?
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题目中的向量相乘应该是点乘.
曲线C上的点到F的距离 - 到y轴的距离=1,且C在y轴右侧,
所以 ,曲线C上的点到F(1,0)的距离 = 该点到直线x=-1的距离.
由抛物线的第二定义,得知C是抛物线,其方程为y^2=4x （也可以根据条件列方程计算）
设过点M的直线斜率为k（k不等于0,因为此时与抛物线只有一个交点）,则方程为y=k(x-m),将其与抛物线方程联立,求得A和B的坐标,因为向量FA 点乘 FB=0,所以直线FA和FB的斜率之积=-1对于任意k恒成立.其实计算时只需根据韦达定理知道两根之和与两根之积即可.
经计算这样的m不存在.
曲线C上的点到F的距离 - 到y轴的距离=1,且C在y轴右侧,
所以 ,曲线C上的点到F(1,0)的距离 = 该点到直线x=-1的距离.
由抛物线的第二定义,得知C是抛物线,其方程为y^2=4x （也可以根据条件列方程计算）
设过点M的直线斜率为k（k不等于0,因为此时与抛物线只有一个交点）,则方程为y=k(x-m),将其与抛物线方程联立,求得A和B的坐标,因为向量FA 点乘 FB=0,所以直线FA和FB的斜率之积=-1对于任意k恒成立.其实计算时只需根据韦达定理知道两根之和与两根之积即可.
经计算这样的m不存在.
1年前
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