圆锥曲线已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去他到y轴距离的差都是1是否存在正数m,对于过点M（
圆锥曲线
已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去他到y轴距离的差都是1是否存在正数m,对于过点M（m,0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有向量FA×向量FB=0?
已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去他到y轴距离的差都是1是否存在正数m,对于过点M（m,0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有向量FA×向量FB=0?
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依题意,曲线C上每一点到点F(1,0)的距离等于它到直线x=-1的距离,
所以C的方程是y^2=4x.
设AB:x=ky+m,①代入上式得y^2-4ky-4m=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4k,y1y2=-4m,
由①,x1+x2=ky1+m+ky2+m=k(y1+y2)+2m,
x1x2=(ky1+m)(ky2+m)=k^2y1y2+km(y1+y2)+m^2,
向量FA*FB=(x1-1,y1)*(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2
=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2
=(k^2+1)y1y2+(km-k)(y1+y2)+m^2-2m+1
=-4m(k^2+1)+4k(km-k)+m^2-2m+1
=m^2-6m+1-4k^2=0,不可能对任意的k都成立,
所以不存在满足题设的正数m.
所以C的方程是y^2=4x.
设AB:x=ky+m,①代入上式得y^2-4ky-4m=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4k,y1y2=-4m,
由①,x1+x2=ky1+m+ky2+m=k(y1+y2)+2m,
x1x2=(ky1+m)(ky2+m)=k^2y1y2+km(y1+y2)+m^2,
向量FA*FB=(x1-1,y1)*(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2
=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2
=(k^2+1)y1y2+(km-k)(y1+y2)+m^2-2m+1
=-4m(k^2+1)+4k(km-k)+m^2-2m+1
=m^2-6m+1-4k^2=0,不可能对任意的k都成立,
所以不存在满足题设的正数m.
1年前
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