无穷级数,求函数敛散性,这个题的敛散性怎么求?（收敛）

用达朗贝尔判别法吧……设这个数列是a[n],用a[n+1]/a[n]再n→∞取极限,看看比值和1的关系,如果比1大此级数相当于一个公比大于1的等比级数,必然发散；如果比1小,相当于无穷递缩等比级数就收敛；如果等于1还要进一步判断.由于sin后面的分母是2^n(2的n次方),因此这个除法比较好做,可以用2倍角公式.
a[n]=n² sin(π/2^n),a[n+1]=(n+1)² sin(π/2^(n+1))
所以a[n+1]/a[n]=(1+1/n)² sin(π/2^(n+1))/sin(π/2^n)
用2倍角公式sin(π/2^n)=2 sin(π/2^(n+1)) cos(π/2^(n+1))
于是约去sin(π/2^(n+1)),a[n+1]/a[n]=0.5 (1+1/n)² 1/cos(π/2^(n+1))
再取极限,n趋近于无穷大,显然这个比值趋近于0.5