（2013•黄州区模拟）已知实数a，b是常数，f（x）=（x+a）2-7blnx+1．

解（Ⅰ）∵b=1，故f（x）=（x+a）²-7lnx+1，
∴f′(x)＝2x+2a−
7
x．
∵当x＞1时，f（x）是增函数，
∴f′(x)＝2x+2a−
7
x≥0在x＞1时恒成立．
即a≥
7
2x−x在x＞1时恒成立．
∵当x＞1时，y＝
7
2x−x是减函数，
∴当x＞1时，[7/2x−x＜
5
2]，
∴a≥[5/2]．
（II）∵b＝
4
7a2，故f（x）=（x+a）²-4a²lnx+1，x∈（0，+∞），
∴f′(x)＝
2x2+2ax−4a2
x＝
2(x−a)(x+2a)
x，
∴当a=0时，f（x）的增区间为（0，+∞）
当a＞0时，∴f'（x）＞0⇒x＞a或x＜-2a，
∴f（x）的减区间为（0，a），增区间为（a，+∞）
当a＜0时，∴f'（x）＞0⇒x＞-2a或x＜a，
∴f（x）的减区间为（0，-2a），增区间为（-2a，+∞）；
（Ⅲ） 由（Ⅰ）知，
当a＝
5
2时，
f(x)＝(x+
5
2)2−7lnx+1在（1，+∞）是增函数．
∴当x＞1时，f（x）＞f（1），
即(x+
5
2)2−7lnx+1＞
53
4，
∴x²+5x-6＞7lnx
∵n∈N*，∴[n+1/n＞1，
∴(1+
1
n)2+5(1+
1
n)−6＞7ln
n+1
n]，
即[1
n2+7
1/n＞7[ln(n+1)−lnn]，
∴(
1
12+
7
1)+(
1
22+
7
2)…(
1
n2+
7
n)＞
7[ln2-ln1+ln3-ln2+…+ln（n+1）-lnn]
=7ln（n+1），
∴ln(n+1)7＜(1+

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考察了利用导数求函数的单调性，求参数的取值范围，不等式的证明，是一道综合题．

1年前

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