利用已学知识证明：（1）sinθ+sinφ=2sin[θ+φ/2]cos[θ−φ/2]；（2）已知△ABC的外接圆的半径
利用已学知识证明：
（1）sinθ+sinφ=2sin[θ+φ/2]cos[θ−φ/2]；
（2）已知△ABC的外接圆的半径为2，内角A，B，C满足sin2A+sin（A-B+C）=sin（C-A-B）+[1/2]，求△ABC的面积．
（1）sinθ+sinφ=2sin[θ+φ/2]cos[θ−φ/2]；
（2）已知△ABC的外接圆的半径为2，内角A，B，C满足sin2A+sin（A-B+C）=sin（C-A-B）+[1/2]，求△ABC的面积．
赞 雪莲1103 幼苗
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解题思路：（1）由于θ=（[θ+φ/2]+[θ−φ/2]），φ=（[θ+φ/2]-[θ−φ/2]）即可证明；
（2）化简可得sinAsinBsinC＝
，由已知△ABC的外接圆的半径为2，即可求△ABC的面积．
（2）化简可得sinAsinBsinC＝
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（1）sinθ+sinϕ＝sin(
θ+ϕ
2+
θ−ϕ
2)+sin(
θ+ϕ
2−
θ−ϕ
2)＝2sin
θ+ϕ
2cos
θ−ϕ
2…（4分）
（2）∵sin2A+sin(π−2B)＝sin(2C−π)+
1
2
∴sin2A+sin2B+sin2C＝
1
2
由（1）可得2sin
2A+2B
2cos
2A−2B
2+2sinCcosC＝
1
22sinC[cos(A−B)−cos(A+B)]＝4sinCsinAsinB＝
1
2
∴sinAsinBsinC＝
1
8…（10分）
∵已知△ABC的外接圆的半径为2
∴S△ABC＝2R2sinAsinBsinC＝1…（12分）
点评：
本题考点： 三角函数恒等式的证明；三角函数的和差化积公式．
考点点评： 本题主要考察了三角函数的和差化积公式的应用，三角函数恒等式的证明，属于中档题．
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