（2014•鹤城区二模）已知（1+x）n=1+a1x+a2x2+…+anxn，n∈N*且Sn=a1+2a2+…+nan，

解题思路：当n=3时，利用二项式定理求得a₁、a₂、a₃的值，可得S₃=a₁+2a₂+3a_n的值，化简

n

i＝1

Si=

C

1 n

+（

C

1 n

+2

C

2 n

）+（

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

）+…+（

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

）．对于等式（1+x）ⁿ=1+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，令x=1并且两边同时取导数可得n2^n-1=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n，可得

n

i＝1

Si=1×1+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1，再用错位相减法求得

n

i＝1

Si 的值．

当n=3时，∵（1+x）³=1+3x+3x²+3x³，∴a₁=3，a₂=3，a₃=1，
∴S₃=a₁+2a₂+3a_n=3+6+3=12．

n

i＝1Si=a₁+（a₁+2a₂）+（a₁+2a₂+3a₃）+…+（a₁+2a₂+3a₃+…+na_n）
=
C1n+（
C1n+2
C2n）+（
C1n+2
C2n+3
C3n）+…+（
C1n+2
C2n+3
C3n+…+n
Cnn）．
对于等式（1+x）ⁿ=1+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，令x=1并且两边同时取导数可得，n2^n-1=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n，
∴
n

i＝1Si=1×1+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1，
∴2
n

i＝1Si=1×2+2×2¹×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
错位相减法可得-
n

i＝1Si=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n2ⁿ =
1×(1−2n)
1−2-n2ⁿ=（1-n）2ⁿ-1，
花简求得
n

i＝1Si=（n-1）×2^n-1 +1，
故答案为：12；（n-1）×2^n-1 +1．

点评：
本题考点： 二项式系数的性质．

考点点评： 本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，用错位相减法进行数列求和，属于中档题．