已知函数f（x）=3x+2-[a/x]-（3a+1）lnx （x＞0，实数a为常数）．

解题思路：（Ⅰ）求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数的最值；
（Ⅱ）先确定f（x）在（[1/3]，a）上单调递减，不妨设x₁＜x₂，则当x₁，x₂∈（[1/3]，a）时，f（x₁）＞f（x₂），证明不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|，即证f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂．

（Ⅰ）a=4时，f′(x)＝
(3x−1)(x−4)
x2，…（2分）
令f′（x）＜0，可得x∈（[1/3，4），令f′（x）＞0，由于x＞
1
3]，可得x∈（4，+∞），
∴f（x）在（[1/3，4）上单调递减，在（4，+∞）上单调递增…（4分）
∴在区间（
1
3]，+∞）上，当x=4时，f（x）有最小值f（4）=13-26ln2…（6分）
（Ⅱ）证明：当[1/3＜a＜
1
2]，f′(x)＝
(3x−1)(x−a)
x2，∴f（x）在（[1/3]，a）上单调递减，
不妨设x₁＜x₂，则当x₁，x₂∈（[1/3]，a）时，f（x₁）＞f（x₂），
故不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|等价于f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂，…（10分）
令函数g（x）=f（x）+x，则g′（x）=f′（x）+1=
4x2−(3a+1)x+a
x2
再令h（x）=4x²-（3a+1）x+a，对称轴x=[3a+1/8]＜[1/3]（由于a＜[1/2]），
∵h（[1/3]）=[1/9]＞0，h（a）=a²＞0，∴h（x）＞0当x∈（[1/3]，a）时恒成立，
即g′（x）＞0当x∈（[1/3]，a）时恒成立，所以g（x）在（[1/3]，a）上为增函数，
所以f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂，
从而不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|对于任意不相等的x₁，x₂∈（[1/3]，a）都成立．…（15分）

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．