（2010•大连二模）已知函数f（x）=[1/2]x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b．其中a，b∈R．

（1）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x₀，y₀）处的切线相同．
f′（x）=x+2a，g′（x）=
3a2
x．
由题意知f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀）
即


1
2
x20+2ax0＝3a2lnx0+b
x0+2a＝
3a2
x0，
解得x₀=a或x₀=-3a（舍去），
b=
5a2
2-3a²lna（a＞0）
（2）b'（a）=5a-6alna-3a=2a（1-3lna）．
令b'（a）=0，则a＝e
1
3，当a变化时，b'（a）及b（a）的变化情况如下表：
所以，a＝e
1
3时，b（a）有最大值[3/2e
2
3]．
（3）h（x）=[1/2]x²+3a²lnx-6x，h′（x）=x+
3a2
x-6
要使h（x）在（0，4）上单调，
须h′（x）=x+
3a2
x-6≤0或h′（x）=x+
3a2
x-6≥0在（0，4）上恒成立．
h′（x）=x+
3a2
x-6≤0在（0，4）上恒成立
⇔3a²≤-x²+6x在（0，4）上恒成立．
而-x²+6x＞0，且-x²+6x可为足够小的正数，必有a=0
或h′（x）=x+
3a2

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；导数的运算．

考点点评： 本题主要考查函数的单调性、极值、最值等函数的基础知识，是一道关于函数的综合题，应熟练掌握其求解的方法步骤．