（2013•枣庄二模）设f（x）=ax+cosx（x∈R）．

解题思路：（1）a=[1/2]时，f′（x）=

1

2

−sinx，解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可得到函数的单调区间；
（2）问题转化为∀x≥0，（1-a）x+sin2x≤0，求实数a的取值范围．令g（x）=（1-a）x+sin2x，则g（x）≤0在[0，+∞）上恒成立，g（0）=0，当g（x）在[0，+∞）上单调递减满足题意，此时求出a≥3；当a＜3时，分下列两种情况讨论：①当a＜-1时，由导数可判断g（x）在[0，+∞）上递增，易知此时不合题意；②当-1≤a＜3时，令g′（x）＞0，借助三角函数图象可求g（x）的增区间，由此可判断此时不合题意；

（1）f′（x）=a-sinx，a=[1/2]时，f′（x）=[1/2−sinx，
f′（x）＞0⇔sinx＜
1
2]⇔2kπ-[7/6]π＜x＜2kπ+[7/6]π，k∈z，f′（x）＜0⇔sinx＞[1/2]⇔2kπ+[π/6]＜x＜2kπ+[5/6]π，k∈z，
所以，函数f（x）的增区间为（2kπ-[7/6]π，2kπ+[7/6]π），k∈z；减区间为（2kπ+[π/6]，2kπ+[5/6]π），k∈z．
（2）x+sin2x+cosx≤f（x）⇔x+sin2x≤ax⇔（1-a）x+sin2x≤0，
所以，问题转化为∀x≥0，（1-a）x+sin2x≤0，求实数a的取值范围．
令g（x）=（1-a）x+sin2x，依题意，g（x）≤0在[0，+∞）上恒成立．
因为g（0）=0，要使g（x）≤0在[0，+∞）上恒成立，只要g（x）在[0，+∞）上单调递减即可，
这样，g′（x）=（1-a）+2cos2x≤0在[0，+∞）上恒成立即可，
于是，（1-a）≤-2cos2x在[0，+∞）上恒成立．
所以，1-a≤{-2cos2x}_min（x∈[0，+∞））=-2，即a≥3．
可见a≥3符合题意．
当a＜3时，分下列两种情况讨论：
①当a＜-1时，g′（x）=（1-a）+2cos2x＞1+1+2cos2x=2（1+cos2x）≥0，
因此，g（x）在[0，+∞）上为增函数，于是，当x＞0时，g（x）＞g（0）=0，
所以，a＜-1不符合题意；
②当-1≤a＜3时，令g′（x）=（1-a）+2cos2x＞0，则有cos2x＞[a−1/2]，
而-1≤[a−1/2]＜1，由函数y=cost在[0，π]上的图象知存在唯一的x₀∈（0，π]，使得cosx₀=[a−1/2]，
由右图，可知当2x∈（0，x₀），即x∈（0，
x0
2）时，
有cos2x＞[a−1/2]，这时g′（x）＞0对区间（0，
x0
2）内的任一x成立，
所以，函数g（x）在区间（0，
x0
2）上单调递增，
又g（0）=0，所以，当x∈（0，
x0
2）时，有g（x）＞0，
可见，-1≤a＜3不符合题意．
综上，满足题意的实数a的取值范围为a≥3．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性、在闭区间上的最值、三角函数等知识，考查分类讨论思想、数形结合思想，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力，难度较大．