百度史上最难数学题!I是ABC的内心,圆I是以I为圆心作的任意一圆,过I分别作BC,AC,AB的垂线,分别与圆I交于点D
百度史上最难数学题!
I是ABC的内心,圆I是以I为圆心作的任意一圆,过I分别作BC,AC,AB的垂线,分别与圆I交于点D,E,F,求证：AD,BE,CF共点.
请自己画.题目绝对没打错,画不出图的就不要捣乱.谁能做出有追加和悬赏,保你下周当专家.
不是三点共线，是三线共点！
I是ABC的内心,圆I是以I为圆心作的任意一圆,过I分别作BC,AC,AB的垂线,分别与圆I交于点D,E,F,求证：AD,BE,CF共点.
请自己画.题目绝对没打错,画不出图的就不要捣乱.谁能做出有追加和悬赏,保你下周当专家.
不是三点共线，是三线共点！
赞 gonghairong 幼苗
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楼主看来在数学竞赛方面研究得很深啊,有时间咱俩交流交流.
想必楼主知道判定三线共点的著名的CEVA定理.
用正弦定理稍加变换就可以得到它的三角形式——角元CEVA定理:
AD,BE,CF三线共点等价于sin(BAD)*SIN(ACF)*SIN(CBE)=SIN(CAD)*SIN(BCF)*SIN(EBA)
由此启发,得以下证法:
在三角形BAD中,由正弦定理:SIN(BAD):BD=SIN(DBA):DA
在三角形CAD中,由正弦定理:CD:SIN(DAC)=AD:SIN(DCA)
两式相乘,可以得到:SIN(BAD):SIN(DAC)=[SIN(DBA)*CD]:[SIN(DCA)*CD}
设三角形内接圆半径为R,所作圆的半径为r.
所以SIN(DBA)*CD=D到AB边的距离=R+r*cosB
SIN(DCA)*CD=D到AC边的距离=R+r*cosC
这两步都省略了很容易的角的计算.
所以SIN(BAD):SIN(DAC)=(R+r*cosB):(R+r*cosC)
再同理写出另外两个式子
三式相乘,利用前面介绍过的角元CEVA定理就证明了结论.
证明毕.
想必楼主知道判定三线共点的著名的CEVA定理.
用正弦定理稍加变换就可以得到它的三角形式——角元CEVA定理:
AD,BE,CF三线共点等价于sin(BAD)*SIN(ACF)*SIN(CBE)=SIN(CAD)*SIN(BCF)*SIN(EBA)
由此启发,得以下证法:
在三角形BAD中,由正弦定理:SIN(BAD):BD=SIN(DBA):DA
在三角形CAD中,由正弦定理:CD:SIN(DAC)=AD:SIN(DCA)
两式相乘,可以得到:SIN(BAD):SIN(DAC)=[SIN(DBA)*CD]:[SIN(DCA)*CD}
设三角形内接圆半径为R,所作圆的半径为r.
所以SIN(DBA)*CD=D到AB边的距离=R+r*cosB
SIN(DCA)*CD=D到AC边的距离=R+r*cosC
这两步都省略了很容易的角的计算.
所以SIN(BAD):SIN(DAC)=(R+r*cosB):(R+r*cosC)
再同理写出另外两个式子
三式相乘,利用前面介绍过的角元CEVA定理就证明了结论.
证明毕.
1年前
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yushihang111 幼苗
共回答了1个问题 举报
首先，因为l是ABC的内心，所以过点l分别到BC、AC、AB所作的垂线
共点。
而该圆同样以l作为圆心，
因此，过l分别作BC,AC,AB,的垂线，分别与圆交于点D,E,F,
AD,BE,CF共点。
西姆松定理及其逆定理
过三角形外接圆上任一点作三边（或所在直线）的垂线，则三垂足共线；
反之，若自一点作三角形三边所在直线的垂线足共...
共点。
而该圆同样以l作为圆心，
因此，过l分别作BC,AC,AB,的垂线，分别与圆交于点D,E,F,
AD,BE,CF共点。
西姆松定理及其逆定理
过三角形外接圆上任一点作三边（或所在直线）的垂线，则三垂足共线；
反之，若自一点作三角形三边所在直线的垂线足共...
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