卫侯之妻
幼苗
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这个不等式貌似复杂,其实不难,也不必用归纳法.关键是注意到下式:
|1+z^k| + |1+z^(k+1)| ≥ |z^(k+1)-z^k| = |z-1|.
n为偶数时欲证式为:n|1+z| + (n-1)|1+z²|+…+|1+z^n| ≥ (n²/4)|1-z|.
n为奇数时欲证式为:n|1+z| + (n-1)|1+z²|+…+|1+z^n| ≥ [(n²-1)/4]|1-z|.
n为偶数时,可两两配对如下:
n|1+z| + (n-1)|1+z²| ≥ (n-1)(|1+z| + |1+z²|) ≥ (n-1)|z-1|;
(n-2)|1+z^3| + (n-3)|1+z^4| ≥ (n-3)(|1+z^3| + |1+z^4|) ≥ (n-3)|z-1|;
……
2|1+z^(n-1)|+|1+z^n| ≥ |1+z^(n-1)| + |1+z^n| ≥ |1-z|.
累加:欲证式左端 ≥ [(n-1)+(n-3)+…+1] |z-1| = 右端.
n为奇数时完全类似,可以把左边的|1+z^n|扔掉,余下的项相邻两两配对即可.
1年前
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