（2012•阜宁县三模）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．

（2012•阜宁县三模）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

yangoxx 1年前已收到1个回答举报

diaodaixiaoyao 花朵

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解题思路：（1）本题需先根据已知条件，过C点，设出该抛物线的解析式为y=ax²+bx-2，再根据过A，B两点，即可得出结果．
（2）本题首先判断出存在，首先设出横坐标和纵坐标，从而得出PA的解析式，再分三种情况进行讨论，当

＝

1]时和[AM/PM

＝

2]时，当P，C重合时，△APM≌△ACO，分别求出点P的坐标即可．
（3）本题需先根据题意设出D点的横坐标和D点的纵坐标，再过D作y轴的平行线交AC于E，再由题意可求得直线AC的解析式为，即可求出E点的坐标，从而得出结果即可．

（1）∵该抛物线过点C（0，-2），
∴可设该抛物线的解析式为y=ax²+bx-2．
将A（4，0），B（1，0）代入，
得

16a+4b−2＝0
a+b−2＝0.，
解得

a＝−
1
2
b＝
5
2.，
∴此抛物线的解析式为y＝−
1
2x2+
5
2x−2；

（2）存在．如图，设P点的横坐标为m，
则P点的纵坐标为−
1
2m2+
5
2m−2，
当1＜m＜4时，AM=4-m，PM＝−
1
2m2+
5
2m−2．
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①当[AM/PM＝
AO
OC]，
∵C在抛物线上，
∴OC=2，
∵OA=4，
∴[AM/PM＝
AO
OC＝
2
1]，
∴△APM∽△ACO，
即4−m＝2(−
1
2m2+
5
2m−2)．
解得m₁=2，m₂=4（舍去），
∴P（2，1）．
②当[AM/PM＝

点评：
本题考点：二次函数综合题；相似三角形的判定与性质．

考点点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点，主要考查学生数形结合的数学思想方法．

1年前

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