（2013•富宁县模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点B（14，0）和C（0，-8），对称轴为x=

解题思路：（1）把点B、C的坐标代入抛物线解析式，根据对称轴解析式列出关于a、b、c的方程组，求解即可；
（2）根据抛物线解析式求出点A的坐标，再利用勾股定理列式求出AC的长，然后求出OD，可得点D在抛物线对称轴上，根据线段垂直平分线上的性质可得∠PDC=∠QDC，PD=DQ，再根据等边对等角可得∠PDC=∠ACD，从而得到∠QDC=∠ACD，再根据内错角相等，两直线平行可得PQ∥AC，再根据点D在对称轴上判断出DQ是△ABC的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DQ=[1/2]AC，再求出AP，然后根据时间=路程÷速度求出点P运动的时间t，根据勾股定理求出BC，然后求出CQ，根据速度=路程÷时间，计算即可求出点Q的速度．

（1）∵图象经过点B（14，0）和C（0，-8），对称轴为x=4，
∴

196a+14b+c＝0
c＝−8
−
b
2a＝4，
解得

a＝
2
21
b＝−
16
21
c＝−8，
∴抛物线的解析式为y=[2/21]x²-[16/21]x-8；

（2）存在直线CD垂直平分PQ．
理由如下：令y=0，则[2/21]x²-[16/21]x-8=0，
整理得，x²-8x-84=0，
解得x₁=-6，x₂=14（为点B坐标），
∴点A的坐标为（-6，0），
在Rt△AOC中，AC=
AO2+CO2=
62+82=10，
∴OD=AD-AO=AC-AO=10-6=4，
∴点D在二次函数的对称轴上，
∵直线CD垂直平分PQ，
∴∠PDC=∠QDC，PD=DQ，
又∵AD=AC，
∴∠PDC=∠ACD，
∴∠QDC=∠ACD，
∴DQ∥AC，
∴DQ是△ABC的中位线，
∴DQ=[1/2]AC=[1/2]×10=5，
∴AP=AD-PD=AC-DQ=10-5=5，
∵动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，
∴t=5÷1=5，
∴存在t=5（秒）时，线段PQ被直线CD垂直平分，
此时，在Rt△BOC中，BC=
CO2+BO2=
82+142=2
65，
∵DQ是△ABC的中位线，
∴CQ=[1/2]BC=[1/2]×2
65=
65，
∴点Q的运动速度为每秒

65
5单位长度．

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理，等边对等角的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，（2）求出DQ∥AC是解题的关键．