（2012•富宁县模拟）如图，平面直角坐标系中，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线y=-x2+bx+c
（2012•富宁县模拟）如图，平面直角坐标系中，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线y=-x2+bx+c经过B、C两
点，并与x轴交于另一点A．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）设P（m，n）是（1）中所得抛物线上的一个动点，且点P位于第一象限．过点P作直线l⊥x轴于点M，交BC于点N．
①试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时m的值；若不存在，请说明理由；
②若△PBC是以BC为底边的等腰三角形，试求点P的横坐标．
点，并与x轴交于另一点A．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）设P（m，n）是（1）中所得抛物线上的一个动点，且点P位于第一象限．过点P作直线l⊥x轴于点M，交BC于点N．
①试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时m的值；若不存在，请说明理由；
②若△PBC是以BC为底边的等腰三角形，试求点P的横坐标．
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解题思路：（1）根据直线解析式求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式列式求解即可；
（2）①根据抛物线解析式与直线解析式表示出点P、N的坐标，然后用含有m的式子表示出PN，整理并根据二次函数的最值问题解答；
②根据等腰三角形三线合一的性质可知点P在BC的垂直平分线上，再根据点B、C的坐标可知BC的垂直平分线也是∠BOC的平分线，然后根据点P的横坐标与纵坐标相等列出方程求解即可．
（2）①根据抛物线解析式与直线解析式表示出点P、N的坐标，然后用含有m的式子表示出PN，整理并根据二次函数的最值问题解答；
②根据等腰三角形三线合一的性质可知点P在BC的垂直平分线上，再根据点B、C的坐标可知BC的垂直平分线也是∠BOC的平分线，然后根据点P的横坐标与纵坐标相等列出方程求解即可．
（1）当x=0时，y=3，
当y=0时，-x+3=0，解得x=3，
所以，点B、C的坐标分别为B（3，0），C（0，3），（2分）
∴
−9+3b+c＝0
c＝3，
解得
b＝2
c＝3，
∴所求函数关系式为y=-x2+2x+3；（4分）
（2）①∵点P（m，n）在抛物线y=-x2+2x+3上，且PN⊥x轴，
∴可设点P（m，-m2+2m+3），
同理可设点N（m，-m+3），（5分）
∴PN=PM-NM=（-m2+2m+3）-（-m+3）=-m2+3m=-（m-[3/2]）2+[9/4]，（8分）
∴当m=[3/2]时，线段PN的长度的最大值为[9/4]；（9分）
②由题意知，点P在线段BC的垂直平分线上，又由（1）知，OB=OC，
∴BC的垂直平分线同时也是∠BOC的平分线，（10分）
∴m=-m2+2m+3，
整理得，m2-m-3=0，
解得m1=
1+
13
2，m2=
1−
13
2（不合题意舍去）．
∴点P的横坐标为
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题是对二次函数的综合考查，主要有直线与坐标轴的交点的求解，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，等腰三角形三线合一的性质，（2）中根据点B、C的坐标，OB与OC恰好相等是解题关键．
1年前
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你能帮帮他们吗