（2012•泉州模拟）如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y2=4x的焦点F．

解题思路：法一：（Ⅰ）抛物线的焦点F（1，0），当直线l的斜率不存在时，即x=1不符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x-1），所以|−k|1+k2＝12，由此能求出直线l的方程．（Ⅱ）直线AB与抛物线相切．设A（x0，y0），则y20＝4x0．因为|BF|=|AF|=x0+1，所以B（-x0，0），由此能够证明直线AB与抛物线相切．法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，设A（x0，y0），则|AF|＝x0+1，y20＝4x0．设圆的方程为：(x−1)2+y2＝(x0+1)2由此能够证明直线AB与抛物线相切．

解法一：（Ⅰ）抛物线的焦点F（1，0），…（1分）
当直线l的斜率不存在时，即x=1不符合题意．…（2分）
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为：y=k（x-1），即kx-y-k=0．…（3分）
所以，
|−k|

1+k2＝
1
2，解得：k＝±

3
3．…（5分）
故直线l的方程为：y＝±

3
3(x−1)，即x±
3y−1＝0．…（6分）
（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，证明如下：…（7分）
（法一）：设A（x₀，y₀），则
y20＝4x0．…（8分）
因为|BF|=|AF|=x₀+1，所以B（-x₀，0）．…（9分）
所以直线AB的方程为：y＝
y0
2x0(x+x0)，
整理得：x＝
2x0y
y0−x0…（1）
把方程（1）代入y²=4x得：y0y2−8x0y+4x0y0＝0，…（10分）
△＝64
x20−16x0
y20＝64
x20−64
x20＝0，
所以直线AB与抛物线相切．…（12分）
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，证明如下：…（7分）
设A（x₀，y₀），则|AF|＝x0+1，
y20＝4x0．…（8分）
设圆的方程为：(x−1)2+y2＝(x0+1)2，…（9分）
当y=0时，得x=1±（x₀+1），
因为点B在x轴负半轴，所以B（-x₀，0）．…（9分）
所以直线AB的方程为y＝
y0
2x0(x+x0)，
整理得：x＝
2x0y
y0−x0…（1）
把方程（1）代入y²=4x得：y0y2−8x0y+4x0y0＝0，…（10分）
△＝64
x20−16x0
y20＝64
x20−64
x20＝0，
所以直线AB与抛物线相切．…（12分）

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．

考点点评： 本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．