对于任意的正实数a，已知关于x的方程xex=a的解存在．
对于任意的正实数a，已知关于x的方程xex=a的解存在．
（1）证明：该方程的解唯一；
（2）若将该方程的解记为Iwa，则我们可以用符号“Iw”来表示一些方程的解，例如方程（2x+1）•e2x+1=3的解为[−1+Iw3/2]．试解方程2x=-7x．
（1）证明：该方程的解唯一；
（2）若将该方程的解记为Iwa，则我们可以用符号“Iw”来表示一些方程的解，例如方程（2x+1）•e2x+1=3的解为[−1+Iw3/2]．试解方程2x=-7x．
赞 非主流元素 幼苗
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解题思路：（1）方程xex=a的解，即为函数f（x）=xex-a的根，根据极限思想和导数法分析出函数f（x）=xex-a仅在（-1，+∞）上有且只有一个零点，可得结论．
（2）若2x=-7x，则−x•2−x＝
，则−x•(eln2)−x＝
，则−xln2•(e)−xln2＝
，进而得到答案．
（2）若2x=-7x，则−x•2−x＝
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 7 |
| ln2 |
| 7 |
证明：（1）方程xex=a的解，即为函数f（x）=xex-a的零点，
∵f′（x）=（x+1）ex，
∴当x＜-1时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
当x＞-1时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
故当x=-1时，函数f（x）取最小值-[1/e]-a，
∵a＞0，
∴-[1/e]-a＜0，
lim
x→−∞f（x）=-a＜0，
lim
x→+∞f（x）=+∞，
故函数f（x）=xex-a仅在（-1，+∞）上有且只有一个零点，
即方程xex=a的解唯一；
（2）若2x=-7x，则−x•2−x＝
1
7，
则−x•(eln2)−x＝
1
7，
则−xln2•(e)−xln2＝
ln2
7，
则x＝−
Iw
ln2
7
ln2．
点评：
本题考点： 根的存在性及根的个数判断．
考点点评： 本题考查的知识点是方程的根与函数的零点，综合性强，运算量大，且新概率比较难理解，属于难题．
1年前
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