用正交变化将二次型f=-3X2^2-3X3^2-4X1X2+4X1X3+8X2X3化为标准型,写出郑炯矩阵和标准型.

二次型的矩阵 A=
0 -2 2
-2 -3 4
2 4 -3
|A-λE|=
-λ -2 2
-2 -3-λ 4
2 4 -3-λ
c3+c2
-λ -2 0
-2 -3-λ 1-λ
2 4 1-λ
r2-r3
-λ -2 0
-4 -7-λ 0
2 4 1-λ
= (1-λ)[-λ(-7-λ)-8]
= (1-λ)(λ^2+7λ-8)
= (1-λ)(λ-1)(λ+8)
所以 A 的特征值为 1,1,-8.
(A-E)x=0 的基础解系为 a1=(2,-1,0)^T,a2=(2,4,5)^T
(A+8E)x=0 的基础解系为 a3=(1,2,-2)^T
3个特征向量已正交,单位化为:
b1=(1/√5)(2,-1,0)^T
b2=(1/√45)(2,4,5)^T
b3=(1/3)(1,2,-2)^T
令 P=(b1,b2,b3),则 X=PY 为正交变换
f = y1^2+y2^2-y3^2