设动点P(x,y)(x≥0)到定点F 的距离比到y轴的距离大 .记点P的轨迹为曲线C.

(1) y ² =2x (2) BD=2,即弦长BD为定值 (3)8


解:(1)由题意知,所求动点P(x,y)的轨迹为以F 为焦点,直线l:x=- 为准线的抛物线,其方程为y ² =2x.
(2)是定值.解法如下:设圆心M ,
半径r= ,
圆的方程为 +(y-a) ² =a ² + ,
令x=0,得B(0,1+a),D(0,-1+a),
∴BD=2,即弦长BD为定值.
(3)设过F的直线GH的方程为y=k ,G(x ₁ ,y ₁ ),H(x ₂ ,y ₂ ),
由 得k ² x ² -(k ² +2)x+ =0,
∴x ₁ +x ₂ =1+ ,x ₁ x ₂ = ,
∴|GH|= · =2+ ,
同理得|RS|=2+2k ² .
S _{四边形GRHS} = (2+2k ² )= 2≥8(当且仅当k=±1时取等号).
∴四边形GRHS面积的最小值为8.