设数列{a n } 的前n项和为S n ，已知S 1 =1， S n+1 S n = n+c n （c为常数，c≠1，n

（1）∵S ₁ =1，
S n+1
S n =
n+c
n ，
∴a _n+1 =S _n+1 -S _n =
c
n S n ，-------------------------（2分）
∴a ₁ =S ₁ =1，a ₂ =cS ₁ =c，a ₃ =
c
2 S 2 =
c
2 (1+c) ．
∵a ₁ ，a ₂ ，a ₃ 成等差数列，
∴2a ₂ =a ₁ +a ₃ ，
即2c=1+
c(1+c)
2 ，
∴c ² -3c+2=0．---------------------------------------------------（5分）
解得c=2，或c=1（舍去）．-----------------------------------------------------------------（6分）
（2）∵）∵S ₁ =1，
S n+1
S n =
n+2
n ，
∴S _n =S ₁ ×
S 2
S 1 ×…×
S n
S n-1 =1×
3
1 ×
4
2 ×…×
n+1
n-1 =
n(1+n)
2 （n≥2），-------------------（8分）
∴a _n =S _n -S _n-1 =
n(1+n)
2 -
n(n-1)
2 =n（n≥2），------------------------------------------（9分）
又a ₁ =1，∴数列{a _n }的通项公式是a _n =n（n∈N ^* ）．-----------------------------------（10分）
（3）证明：∵数列{b _n }是首项为1，公比为c的等比数列，
∴b _n =c ^n-1 ．---------（11分）
∵A _2n =a ₁ b ₁ +a ₂ b ₂ +…+a _2n b _2n ，B _2n =a ₁ b ₁ -a ₂ b ₂ +…-a _2n b _2n ，
∴A _2n +B _2n =2（a ₁ b ₁ +a ₃ b ₃ +…+a _2n-1 b _2n-1 ），①
A _2n -B _2n =2（a ₂ b ₂ +a ₄ b ₄ +…+a _2n b _2n ），②
①式两边乘以c得　c（A _2n +B _2n ）=2（a ₁ b ₂ +a ₃ b ₄ +…+a _2n-1 b _2n ）③
由②③得（1-c）A _2n -（1+c）B _2n =A _2n -B _2n -c（A _2n +B _2n ）
=2[（a ₂ -a ₁ ）b ₂ +（a ₄ -a ₃ ）b ₄ +…+（a _2n -a _2n-1 ）b _2n ]
=2（c+c ³ +…+c ^2n-1 ）
=





2c(1- c 2n )
1- c 2 ，
将c=2代入上式，得A _2n +3B _2n =
4
3 （1-4 ⁿ ）．-----------------------------------------（14分）
另证：先用错位相减法求A _n ，B _n ，再验证A _2n +3B _2n =
4
3 （1-4 ⁿ ）．
∵数列{b _n }是首项为1，公比为c=2的等比数列，∴ b n = 2 n-1 ．--------------（11分）
又是a _n =n（n∈N ^* ），所以A _2n =1×2 ⁰ +2×2 ¹ +…+2n×2 ^2n-1 ①
B _2n =1×2 ⁰ -2×2 ¹ +…-2n×2 ^2n-1 ②
将①乘以2得：
2A _2n =1×2 ¹ +2×2 ² +…+2n×2 ²ⁿ ③
①-③得：-A _2n =2 ⁰ +2 ¹ +…+2 ^2n-1 -2n×2 ²ⁿ =
1(1- 2 2n )
1-2 -2n×2 ²ⁿ ，
整理得：A _2n =4 ⁿ （2n-1）+1-------------------------（12分）
将②乘以-2得：-2B _2n =-1×2 ¹ +2×2 ² -…+2n×2 ²ⁿ ④
②-④整理得：3B _2n =2 ⁰ -2 ¹ +…+2 ^2n-1 -2n×2 ²ⁿ =
1(1- 2 2n )
1-(-2) -2n×2 ²ⁿ =
1 -4 n
3 -2n×4 ⁿ ，（13分）
∴A _2n +3B _2n =
4
3 （1-4 ⁿ ）-----------------------------------------（14分）