（2010•嘉定区二模）已知二次函数f（x）=ax2+bx对任意x∈R均有f（x-4）=f（2-x）成立，且函数的图象过

（1）∵f（x）=ax²+bx对任意x∈R恒有f（x-4）=f（2-x）成立，且图象过点A(1，
3
2)，
∴

a(x−4)2+b(x−4)＝a(2−x)2+b(2−x)
a+b＝
3
2.（2分）

化简a（x-4）²+b（x-4）=a（2-x）²+b（2-x），
得（2b-4a）x+（12a-6b）=0．（3分）
此一元一次方程对x∈R都成立，于是，

2b−4a＝0
12a−6b＝0，即b=2a．
进一步可得

a＝
1
2
b＝1．（6分）∴所求函数解析式为f(x)＝
1
2x2+x．（7分）
（2）∵f（x-t）≤x的解集为[4，m]，∴[1/2(x−t)2+x−t≤x，即x2−2tx+t2−2t≤0的解集是[4，m]，且m＞4.（9分）
∴4、m是方程x²-2tx+t²-2t=0的两根．（10分）
于是，

点评：
本题考点： 函数解析式的求解及常用方法；一元二次不等式的应用．

考点点评： 本题考查待定系数法求函数解析式以及根与系数之间的关系的应用，属简单题

1年前

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