如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=2，BA1⊥AC1，点A1在底面ABC上的射影恰为A

解题思路：（Ⅰ）由题知A1D⊥平面ABC，从而平面A1ACC1⊥平面ABC，又BC⊥AC，从而BC⊥AC1，由此能证明AC1⊥平面A1BC．（Ⅱ）法一：建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-A1B-C的余弦值．（Ⅱ）法二：设A1C∩AC1=O，作OF⊥A1B于F，连AF，则由AO⊥平面A1BC，知AF⊥A1B，∠AFO即是二面角A-A1B-C的平面角，由此能求出二面角A-A1B-C的余弦值．

（Ⅰ）证明：由题知A₁D⊥平面ABC，而A₁D⊂平面A₁ACC₁，
所以平面A₁ACC₁⊥平面ABC，…（2分）
又BC⊥AC，BC⊂平面ABC，
平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，
所以BC⊥平面A₁ACC₁，故BC⊥AC₁，…（4分）
又AC₁⊥A₁B，BC、A₁B⊂平面A₁BC，BC∩A₁B=B，
所以AC₁⊥平面A₁BC．…（6分）
（Ⅱ）解法一：取AB中点E，连DE，
则由DE、DC、DA₁两两垂直，可如图建立空间直角坐标系，
由（Ⅰ）可知AC₁⊥平面A₁BC，故AC₁⊥A₁C，所以△A₁AC为等边三角形，
所以A1D＝
3，
故可得各点坐标分别为A(0 ， −1 ， 0) ， B(2 ， 1 ， 0) ， A1(0 ， 0 ，
3)，C(0 ， 1 ， 0) ， E(1 ， 0 ， 0) ， C1(0 ， 2 ，
3)…（9分）
所以

AB＝(2 ， 2 ， 0)，

A1A＝(0 ， −1 ， −
3) ，

AC1＝(0 ， 3 ，
3)
设

n＝(x ， y ， z)为平面A₁AB的法向量，
则由



n⊥

AB


n⊥

A1A，得

2x+2y＝0
−y−
3z＝0，
令x=3，则得

n＝(3 ， −3 ，
3)，…（10分）
又由（Ⅰ）知平面A₁BC的法向量为

AC1＝(0 ， 3 ，
3)，…（11分）
设所求二面角的大小为θ，则|cosθ|＝|cos〈

n ，

AC1＞|＝
|

n•

AC1|
|

n|•|

AC1|＝
6

21•
12＝

7
7，…（13分）
因为该二面角为锐角，所以二面角A-A₁B-C的余弦值为

7
7．…（14分）
（Ⅱ）解法二：设A₁C∩AC₁=O，作OF⊥A₁B于F，
连AF，则由AO⊥平面A₁BC，知AF⊥A₁B，
所以∠AFO即是二面角A-A₁B-C的平面角，…（10分）
得AO＝
3，OF＝
1
2
A1C•BC
A1B＝
2×2
2
2＝

2
2，…（11分）
所以tan∠AFO＝
AO
OF＝

3


2
2＝
6，…（13分）
从而二面角A-A₁B-C的余弦值为

7
7．…（14分）

点评：
本题考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．