yfy0104 幼苗
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(I)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f'(0)=4,g'(0)=4,
而f'(x)=x2+4x+a,g'(x)=ex(cx+d+c)
故b=2,d=2,a=4,c=2…(4分)
(Ⅱ)令φ(x)=2mex(x+1)-x2-4x-2,
则φ'(x)=2mex(x+2)-2x-4=2(x+2)(mex-1)
因φ(0)≥0,则m≥1
令φ'(x)=0得x1=-lnm,x2=-2…(6分)
(1)若1≤m<e2,则-2<x1≤0,从而x∈(-2,x1)时φ'(x)<0;当x∈(x1,+∞)时φ'(x)>0,即φ(x)在 (-2,x1)单调递减,在(x1,+∞)单调递增,故φ(x)在[-2,+∞)的最小值φ(x1),φ(x1)=2mex1(x1+1)−
x21−4x1−4=2x1+2−
x21−4x1−2=−
x21−2x1=−x1(x1+2)≥0
故当x≥-2时φ(x)≥0,即mg(x)≥f'(x)+2恒成立.…(8分)
(2)若m=e2,则φ'(x)=2e2(x+2)(ex-e-2),从而当x≥-2时φ'(x)≥0,即φ(x)在[-2,+∞)单调递增,而φ(-2)=0,故当x≥-2时φ(x)≥0,即mg(x)≥f'(x)+2恒成立.
(3)若m>e2,则φ(-2)=-2me-2+2=-2e-2(m-e2)<0,从而当x≥-2时,mg(x)≥f'(x)+2不可能恒成立.…(11分)
综上:m的取值范围是[1,e2]…(12分)
点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程,函数恒成立问题,考查分类讨论思想,解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质,此题是一道中档题.
1年前
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