已知二次函数f（x）的二次项系数a，且不等式f（x）＞-x的解集为（1，2），若f（x）的最大值为正数，则a的取值范围是

解题思路：不等式f（x）＞-x的解集为（1，2），得方程f（x）=-x两个根是1，2．由此可得出二次函数f（x）中的系数间的关系，
又f（x）的最大值为正数，得二次项系数a＜0且可以得到关于a的不等关系．

设f（x）=ax²+bx+c，（a＜0），由题意得方程f（x）=-x两个根是1，2，
即ax²+（b+1）x+c=0两个根是1，2．
∴

−
b+1
a＝3

c
a＝2
∴b=-3a-1，c=2a
又f（x）的最大值为正数，即
4ac−b2
4a＞0
消去b，c得到关于a不等式，解得a的取值范围是(−∞，−3−2
2)∪(−3+2
2，0).
故填：(−∞，−3−2
2)∪(−3+2
2，0).．

点评：
本题考点： 一元二次不等式的解法；一元二次不等式的应用．

考点点评： 本题考查不等式与方程之间的内在联系，体现了函数与方程的数学思想，解题的过程中，要有主元素的思想，即要
把条件转化成关于a的不等关系．