（2012•孝感模拟）某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产1百件这样的产品，还需增加投入0.25

（2012•孝感模拟）某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产1百件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为5百件，产品销售数量为t（百件）时，销售所得的收入为(5t−

t2)万元．
（1）该公司这种产品的年生产量为x百件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f（x），求f（x）．
（2）当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大．

pengpen_999 1年前已收到1个回答举报

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解题思路：（1）分类讨论：①当0≤x≤5时，②当x＞5时，分别写出函数f（x）的表达式，最后利用分段函数的形式写出所求函数解析式即可；
（2）分别求出当0≤x≤5时，及当x＞5时，f（x）的最大值，最后综上所述，当x为多少时，f（x）有最大值，即当年产量为多少件时，公司可获得最大年利润．

解（I）当0＜x≤5时，f（x）=5x−
1
2x2-（0.25x+0.5）=−
1
2x2+
19x
4−
1
2（2分）
当x＞5时，f(x)＝25−
1
2×52-（0.25x+0.5）=12−
x
4（4分）
∴f(x)＝

−
1
2x2+
19
4x−
1
2，0＜x≤5
12−
x
4，x＞5（6分）
（2）0≤x≤5时，f（x）=-[1/2]（x-[19/4]）²+[345/32]，
∴在x=[19/4]时，f（x）有最大值[345/32]万元，（10分）
当x＞5时，f（x）=12-[1/4]x＜12-[1/4]×5＜[345/32]（12分）
综上所述，当x=4.75时，f（x）有最大值，即当年产量为475件时，公司可获得最大年利润（13分）

点评：
本题考点：分段函数的应用；二次函数在闭区间上的最值．

考点点评：本题考查了分段函数，以及函数与方程的思想，属于基础题．函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．

1年前

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