已知函数g(x)＝4x−n2x是奇函数，f(x)＝log4(4x+1)+mx是偶函数．

解题思路：（1）由g（x）为定义在R上的奇函数，得g（0）=0，解得n=1；再根据偶函数满足f（-x）=f（x），比较系数可得m=-[1/2]，由此即可得到m+n的值．
（2）由（1）得h（x）=log₄（4^x+1），易得h[log₄（2a+1）]=log₄（2a+2）．而定义在R上的增函数g（x）在x≥1时的最小值为g（1）=[3/2]，从而不等式转化成[3/2]＞log₄（2a+2），由此再结合真数必须大于0，不难解出实数a的取值范围．

（1）由于g（x）为奇函数，且定义域为R，
∴g（0）=0，即
40−n
20＝0⇒n＝1，…（3分）
∵f(x)＝log4(4x+1)+mx，
∴f(−x)＝log4(4−x+1)−mx＝log4(4x+1)−(m+1)x，
∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），得mx=-（m+1）x恒成立，故m＝−
1
2，
综上所述，可得m+n＝
1
2；…（4分）
（2）∵h(x)＝f(x)+
1
2x＝log4(4x+1)，
∴h[log₄（2a+1）]=log₄（2a+2），…（2分）
又∵g(x)＝
4x−1
2x＝2x−2−x在区间[1，+∞）上是增函数，
∴当x≥1时，g(x)min＝g(1)＝
3
2…（3分）
由题意，得

2a+2＜4
3
2
2a+1＞0
2a+2＞0⇔−
1
2＜a＜3，
因此，实数a的取值范围是：{a|−
1
2＜a＜3}．…（3分）

点评：
本题考点： 对数函数图象与性质的综合应用；函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题给出含有指数和对数形式的函数，在已知奇偶性的情况下求参数m、n的值，并讨论不等式恒成立的问题，着重考查了对数函数图象与性质的综合应用、函数的奇偶性和不等式恒成立等知识点，属于中档题．