（2014•郑州二模）正△ABC的边长为2，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC的中点（如图（1））．现将△ABC

解题思路：（Ⅰ）由E、F分别是AC、BC的中点，得EF∥AB，由此能证明AB∥平面DEF．
（Ⅱ）以点D为坐标原点，以直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能在线段BC上存在点P，使AP⊥DE．
（Ⅲ）分别求出平面CDF的法向量和平面EDF的法向量，利用同向量法能求出二面角E-DF-C的平面角的余弦值．

（Ⅰ）证明：如图（2），在△ABC中，
∵E、F分别是AC、BC的中点，∴EF∥AB，
又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，
∴AB∥平面DEF．（4分）
（Ⅱ）以点D为坐标原点，以直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
则A（0，0，1），B（1，0，0），C（0，
3，0），
E（0，

3
2，[1/2]），F（[1/2]，

3
2，0），


AB＝(1，0，−1)，

BC＝(−1，
3，0)，


DE＝(0，

3
2，
1
2)，

DF＝(
1
2，

3
2，0)．
设

BP＝λ

BC，则

AP＝

AB+

BP＝(1−λ，
3λ，−1)，（7分）
注意到AP⊥DE⇔

AP•

DE＝0⇔λ＝
1
3⇔

BP＝
1
3

BC，
∴在线段BC上存在点P，使AP⊥DE．（9分）
（Ⅲ）平面CDF的法向量

DA＝(0，0，1)，
设平面EDF的法向量为

n＝(x，y，z)，
则



DF•

n＝0


DE•

n＝0，即

x+
3y＝0

3y+z＝0，
取

n＝(3，−
3，3)，----（10分）
cos＜

DA•

n＞＝


DA•

n
|

DA|•|

n|＝

21
7，
所以二面角E-DF-C的平面角的余弦值为

21
7．（12分）

点评：
本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题考查直线与平面平行的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．