eimhe 幼苗
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(1)①证明:∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC,∠C=∠CAB=60°,
又∵AE=CF,
在△ABE和△CAF中,
AB=AC
∠BAE=∠ACF
AE=CF,
∴△ABE≌△CAF(SAS),
∴AF=BE,∠ABE=∠CAF.
又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP,
∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°.
∴∠APB=180°-∠APE=120°.
②∵∠C=∠APE=60°,∠PAE=∠CAF,∴△APE∽△ACF,
∴[AP/AC=
AE
AF],即[AP/6=
2
AF],所以AP•AF=12
(2)若AF=BE,有AE=BF或AE=CF两种情况.
①当AE=CF时,点P的路径是一段弧,由题目不难看出当E为AC的中点的时候,点P经过弧AB的中点,此时△ABP为等腰三角形,且∠ABP=∠BAP=30°,
∴∠AOB=120°,
又∵AB=6,
∴OA=2
3,
点P的路径是l=
nπr
180=
120π•2
3
180=
4
3
3π.
②当AE=BF时,点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度;因为等边三角形ABC的边长为6,所以点P的路径的长度为:
62−32=3
点评:
本题考点: 相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.
考点点评: 本题考查了等边三角形性质的综合应用以及相似三角形的判定及性质的应用,解答本题的关键是注意转化思想的运用.
1年前