已知实数a，b，c满足a+b+c=1，a2+b2+c2=3，则abc的最大值为___．

解题思路：由条件可得 1=（a+b+c）²，化简可得ab+bc+ac=-1．求得ab=c²-c-1，又a+b=1-c，可得a和b是关于x的方程 x²+（c-1）x+（c²-c-1）=0的两根．由△≥0，解得-1≤c≤[5/3]．abc=c³-c²-c．利用导数研究函数的单调性，由函数的单调性求函数的最值．

由a+b+c=1，a²+b²+c²=3 可得
1=（a+b+c）²=a²+b²+c² +2ab+2bc+2ac=3+（2ab+2bc+2ac ），故有 ab+bc+ac=-1．
∴-1=ab+c（a+b）=ab+c（1-c），∴ab=c²-c-1．
又a+b=1-c，∴由韦达定理可知，a和b是关于x的方程 x²+（c-1）x+（c²-c-1）=0的两根．
∴△=（c-1）²-4（c²-c-1）≥0，整理可得3c²-2c-5≤0，解得-1≤c≤[5/3]．
再由ab=c²-c-1，可得abc=c³-c²-c．
构造函数f（x）=x³-x²-x，-1≤x≤[5/3]，
求导可得 f'（x）=3x²-2x-1=（x-1）（3x+1），令f′（x）=0，可得x=-[1/3]，或 x=1．
在[-1，-[1/3]）、[1，[5/3]）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数．
在（-[1/3]，1）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数．
∴f（x）max=max{f（-[1/3]），f（[5/3]）}=[5/27]，
∴（abc）max=[5/27]，
故答案为 [5/27]．

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用

考点点评： 本题主要考查二次函数的性质、韦达定理，利用导数研究函数的单调性，由函数的单调性求函数的最值，属于中档题．

x+y=1-z x^2+y^2+z^2=3 x+y+z=1平方作差得xy+xz+yz=-1
即xy+z(x+y)=-1
代入xy+z(1-z)=-1 xy=-1-z(1-z) x+y=1-z
看成方程判别式》=0 -1《=z《=5/3
xyz=z*(-1-z(1-z)=z^3-z^2-z
学过导数的话就好了求导，判断增...