O是锐角三角形ABC的外心,AO,BO,CO分别交对边于L,M,N,则AO:AL+BO:BM+CO:CN=

过O作OE⊥BC交BC于E,再过A作AF⊥BC交BC于F.
∵OE⊥BC,AF⊥BC,∴OE∥AF,∴△OEL∽△AFL,∴OL∶AL＝OE∶AF.
△OBC与△ABC是同底不等高的三角形,∴OE∶AF＝△OBC的面积∶△ABC的面积,
∴OL∶AL＝△OBC的面积∶△ABC的面积,
∴（1－OL∶AL）＝1－△OBC的面积∶△ABC的面积
∴（AL－OL）∶AL＝1－△OBC的面积∶△ABC的面积
∴AO∶AL＝1－△OBC的面积∶△ABC的面积.······①
同理,有：BO∶BM＝1－△OAC的面积∶△BAC的面积,······②
CO∶CN＝1－△OAB的面积∶△CAB的面积.······③
①＋②＋③,得：
AO∶AL＋BO∶BM＋CO∶CN＝3－（△OBC的面积＋△OAC的面积＋△OAB的面积）∶△CAB的面积
而△OBC的面积＋△OAC的面积＋△OAB的面积＝△CAB的面积
∴AO∶AL＋BO∶BM＋CO∶CN＝3－1＝2.
注：△ABC为任意三角形,且点O为△ABC内任意一点,都有：AO∶AL＋BO∶BM＋CO∶CN＝2.