锐角三角形△ABC的外心为O，外接圆半径为R，延长AO，BO，CO，分别与对边BC，CA，AB交于D，E，F；证明：[1

锐角三角形△ABC的外心为O，外接圆半径为R，延长AO，BO，CO，分别与对边BC，CA，AB交于D，E，F；证明：[1/AD+
1
BE
+
1
CF
＝
2
R]．
hhzz_73 1年前 已收到1个回答 举报
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nihao5566 春芽

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解题思路：延长AD交⊙O于M，由于AD，BE，CF共点O．根据S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO、[OD/AD
＝
S△OBC
S△ABC
，
OE
BE
＝
S△OAC
S△BAC
，
OF
CF
＝
S△OAB
S△CAB]可以推知[OD/AD
+
OE
BE
+
OF
CF
＝1①；然后由OD=R-DM、AM=2R求得
OD
AD]=1-[R/AD]；同理[OE/BE
＝1−
R
BE
，
OF
CF
＝1−
R
CF]；最后将其代入①式求得[1/AD
+
1
BE
+
1
CF
＝
2
R]．

证明：延长AD交⊙O于M，由于AD，BE，CF共点O，ODAD＝S△OBCS△ABC，OEBE＝S△OACS△BAC，OFCF＝S△OABS△CAB，…5’则ODAD+OEBE+OFCF＝1…①…10’而ODAD＝R−DM2R−DM＝1−R2R−DM＝1−RAD，…15’同理有，OEBE＝1...

点评：
本题考点： 面积及等积变换．

考点点评： 本题考查了面积以及等积变换．解答本题时，通过作辅助线AM，将AD、OD、CO、CF、BO、BE的长度与半径R联系在一起，从而通过化简[OD/AD+OEBE+OFCF＝1，证得结论1AD+1BE+1CF＝2R]．

1年前

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