圆内接锐角三角形ABC,分别连接AO、BO、CO交BC、AC、AB于D、E、F,求证1/AD+1/BE+1/CF=2/R

证明：分别作三角形ABC和三角形OBC的高AH和OG
则 AH//OG
所以 OD/AD=OG/AH
因为 三角形OBC的面积/三角形ABC的面积＝OG/AH
所以 三角形OBC的面积/三角形ABC的面积＝OD/AD
同理 三角形OAC的面积/三角形ABC的面积＝OE/BE
三角形OAB的面积/三角形ABC的面积＝OF/CF
三式相加可得：OD/AD+OE/BE+OF/CF=1
因为 OD/AD=(AD--AO)/AD=1--AO/AD
OE/BE=1--BO/BE
OF/CF=1--CO/CF
所以 （1--AO/AD)+(1--BO/BE)+(1--CO/CF)=1
即：AO/AD+BO/BE+CO/CF=2
因为AO=BO=CO=R
所以 R/AD+R/BE+R/CF=2
即：1/AD+1/BE+1/CF=2/R.

如图，过A作三角形ABC的高h，过o作三角形BOC的高h1，OA=OB=OC=R，设△ABC、△BCO、△ACO和△ABO的面积分别为S、S1、S2和S3，

∵AM‖ON,

∴△ADM∽△ODN，

即有AD/AM=DO/ON=(AD-AO)/h1 =>h1/h=1-R/AD

∴S1/S=h1/h=1-R/AD...①

同理可得

S2/S=1-R/BE ...②

S3/S=1-R/CF...③

①+②+③得(S1+S2+S3)/S=3-(R/AD+R/BE+R/CF)

又∵S1+S2+S3＝S

∴R/AD+R/BE+R/CF=3-1=2

1/AD+1/BE+1/CF=2/R

证毕

这也太简单了 两边乘R 用面积法