（2011•嘉兴）已知直线y=kx+3（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速

（2011•嘉兴）已知直线y=kx+3（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．
（1）当k=-1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．
①直接写出t=1秒时C、Q两点的坐标；
②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值．
（2）当k=-

时，设以C为顶点的抛物线y=（x+m）²+n与直线AB的另一交点为D（如图2），
①求CD的长；
②设△COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？

dlzyd 1年前已收到1个回答举报

梦无痕26 幼苗

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（1）①C（1，2），Q（2，0）
②由题意得：P（t，0），C（t，-t+3），Q（3-t，0）．
分两种情况讨论：
情形一：当△AQC∽△AOB时，∠AQC=∠AOB=90°，
∴CQ⊥OA，
∵CP⊥OA，
∴点P与点Q重合，OQ=OP，
即3-t=t，
∴t=1.5；
情形二：当△ACQ∽△AOB时，∠ACQ=∠AOB=90°，
∵OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴△ACQ也是等腰直角三角形．
∵CP⊥OA，
∴AQ=2CP，
即t=2（-t+3），
∴t=2．
∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒；

（2）①由题意得：C（t，-[3/4t+3），

∴以C为顶点的抛物线解析式是y=(x-t)2-
3
4t+3，
由(x-t)2-
3
4t+3=-
3
4x+3，
即（x-t）²+
3
4]（x-t）=0，
∴（x-t）（x-t+[3/4]）=0，
解得x1=t，x2=t-
3
4．
过点D作DE⊥CP于点E，则∠DEC=∠AOB=90°，
∵DE∥OA，
∴∠EDC=∠OAB，
∴△DEC∽△AOB，
∴[DE/AO=
CD
BA]，
∵AO=4，AB=5，DE=t-(t-
3
4) =
3
4，
∴CD=[DE×BA/AO=

3
4×5
4=
15
16]，
②∵CD=
15
16，CD边上的高=[3×4/5=
12
5]，
∴S△COD=
1
2×
15
16×
12
5 =
9
8，
∴S_△COD为定值．
要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短，因为当OC⊥AB时OC最短，此时OC的长为[12/5]，∠BCO=90°，
∵∠AOB=90°，

∴∠COP=90°-∠BOC=∠OBA，
又∵CP⊥OA，
∴Rt△PCO∽Rt△OAB，
∴[OP/BO=
OC
BA]，OP=
OC×BO
BA=

12
5× 3
5=

1年前

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