用行列式解性线方程组x+y+z=6,2x-y+z=3,8x+y-z=2,3x+y-z=2,

1 1 1 6 1 1 1 6 1 1 1 6 1 1 1 6 1 1 1 6 1 1 1 6
2 -1 1 3 0 -3 -1 -9 0 3 1 9 0 0 -5 -15 0 1 2 8 0 1 2 8
8 1 -1 2 0 -7 -9 -46 0 7 9 46 0 0 -5 -10 0 0 1 3 0 0 1 3
3 1 -1 2 0 -2 -4 -16 0 1 2 8 0 1 2 8 0 0 1 2 0 0 0 -1
可见这是一组矛盾方程,一般意义下无解!
除此以外可以得到一个最小二乘意义下的近似即使得
Q(X,Y,Z)=(X+Y+Z-6)^2+(2X-Y+Z-3)^2+(8X+Y-Z-2)^2+(3X+Y-Z-2)^2 （1）
取最小的X、Y、Z的值,作为该方程组的最小二乘解.为此对Q(X,Y,Z)分别对：XYZ求导数,并令其为0,得到关于XYZ的线性方程组,解出X,Y,Z即为所求：
(X+Y+Z-6)+2(2X-Y+Z-3)+8(8X+Y-Z-2)+3(3X+Y-Z-2)=0 78X+10Y-8Z=34 (2)
(X+Y+Z-6)-(2X-Y+Z-3)+(8X+Y-Z-2)+(3X+Y-Z-2)=0 10X+4Y-2Z=7 (3)
(X+Y+Z-6)+(2X-Y+Z-3)-(8X+Y-Z-2)-(3X+Y-Z-2)=0 -8X-2Y+4Z=5 (4)
整理（2）（3）（4）：
39X+5Y-4Z=17 (5) (6)*(-4)加到（5）
5X+2Y-Z=3.5 (6) 得到： 19X-3Y=3 (8)
4X+Y-2Z=-2.5 (7) (6)*(-2)加到（7） 得到：-6X-3Y=-9.5 (9)
联立（8）（9） 25X=12.5 X=0.5 3Y=19X-3=9.5-3=6.5 Y=13/6
Z=5X+2Y-3.5=10/3 最后得到最小二乘X=0.5 Y=13/6 Z=10/3