自然数1,2,3,…,n按照一定的顺序排成一个数列:a1,a2,…,an.若满足|a1-1|+|a2-2|+…+|an-

自然数1,2,3,…,n按照一定的顺序排成一个数列:a1,a2,…,an.若满足|a1-1|+|a2-2|+…+|an-n|≤4,则称数列a1,a2,…,an为一个“优数列”.当n=6时,这样的“优数列”共有(  )
A. 24个
B. 23个
C. 18个
D. 16个
hongguit 1年前 已收到1个回答 举报

dai58304186 幼苗

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解题思路:利用新定义,先确定优数列的和只能取0、2、4,再分类讨论,即可得到结论.

由题意,|a1-1|+|a2-2|+…+|an-6|≤4,通过分析可知,当1到6分别对应a1至a6时和,取得最小值0;
任意改变其中两个数ai=i、aj=j的位置,则有|ai-j|+|aj-i|=2|i-j|,
表明一旦改变,和的变化必然是以2为单位,不可能有1、3、5…这样的和出现,
所以,优数列的和只能取0、2、4;
①当和为0时,只有上面提到的1种情况;
②当和为2时,只能是改变相邻位置的两个数而得,否则和2|i-j|必然大于2,共有5种情况;
③当和为4时,需要分类讨论:
(i)改变的是相隔1个数的两个数的情况,也就是i-1和i+1互换位置,有4种情况;
(ii)改变的是三个数轮换的情况,只能是i-1,i,i+1轮换位置,有8种情况;
综上,优数列共有1+5+4+8=18种情况.
故选:C.

点评:
本题考点: 排列、组合及简单计数问题.

考点点评: 本题考查新定义,考查学生分析解决问题的能力,考查分类讨论的数学思想,是中档题.

1年前

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