已知椭圆C的中心为坐标原点O，右焦点为F（1，0），短轴长为2．

（1）根据题意，c=1，2b=2，b=1，
a²=b²+c²=2，
∴椭圆方程：
x2
2+y2＝1；
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线y=kx+b代入椭圆方程得：
（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0．
x1+x2＝
−4kb
1+2k2，x1x2＝
2b2−2
1+2k2．
∵OA⊥OB，
x₁x₂+y₁y₂=0．
∵y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，
∴(k2+1)x1x2+kb(x1+x2)+b2＝0．
(k2+1)•
2b2−2
1+2k2+kb•
−4kb
1+2k2+b2＝0．
整理得，b2＝
2
3(1+k2)．
而原点到直线AB的距离d即圆的半径r=
|b|

k2+1=
2
6
3，
由此得出直线与原点为圆心的圆相切，半径为定长：
2
6
3．
圆的方程为x2+y2＝