冬季未央
幼苗
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解题思路:(I)由已知AC=AD=1,DC=AB=
可得AC⊥AD①AD⊥AB②,由①②根据线面垂直的判定定理可证DA⊥面ABC
(II)(法一:三垂线法)由(I)可得平面ABC⊥平面ABD.取AB中点M,则面面垂直的性质定理可得CM⊥平面ABD,作MN⊥BD,从而可用三垂线法作出二面角的平面角∠CMN,再直角三角形△CMN中求解
(法二:定义法)同法一可得CM⊥平面ABD,由已知AB⊥AC,考虑取BD的中点H,则可得MN∥AD,从而有MH⊥AB,然后利用空间向量的方法:分别以AB,MH,MC为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设平面BCD的一个法向量
,平面ABD的一个法向量为
,代入公式
cosθ=求解即可.
(I)∵DA=AC=1,DC=
2,
∴AC2+AD2=CD2,∴DA⊥AC.(3分)
又∵DA⊥AB,∴AB∩AC=A∴DA⊥平面ABC.(6分)
(II)方法一:取AB中点M,连CM,
过M作MN⊥BD交BD于N,
连CN.∵CA=CB=1,∴CM⊥AB,
∵DA⊂平面ABD,DA⊥平面ABC,
∴平面ABC⊥平面ABD.(8分)
∴CM⊥平面ABD,∴CM⊥BD.
又∵MN⊥BD,MN∩CM=M
∴BD⊥平面CMN,
∴∠CNM为二面角C-BD-A的平面角.(10分)
∴MN=
2
2
3•1=
6
6,CM=
2
2,
tan∠CNM=
CM
MN=
3,∴∠CNM=60°,
故二面角C-BD-A平面角的度数为60°.(12分)
方法二:取AB中点M,连CM.
∵AC=AB=1,∴CM⊥AB.
又∵平面ABC⊥平面ABD,∴CM⊥平面ABD.
取BD中点H,∴MH∥AD.
∵AD⊥AB,∴MH⊥AB.
分别以AB,MH,MC为x,y,z轴建立空间直角坐标系.(6分)
得B(
2
2,0,0),H(0,
1
2,0),C(0,0,
2
2),
∴
BH=(−
2
2,
1
2,0),
BC=(−
2
2,0,
2
2).(8分)
设平面BCD的法向量为
n=(x,y,z),
∴
BH•
n=0
BC•
n=0⇒
−
2
2x+
1
2y=0
−
2
点评:
本题考点: 直线与平面垂直的判定;与二面角有关的立体几何综合题.
考点点评: 本小题主要考查空间线面关系中的垂直关系:线面垂直的判定与性质定理的综合运用、二面角的度量:二面角的平面角的作法①三垂线法,②定义法,利用空间向量的知识解决几何中的量,考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力
1年前
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